מה הקשר בין פיל וחדף לחתולים ועננים? למה משאיות משמיעות קולות מוזרים בירידה ולמה נתגעגע לאנשים שיכורים בשלושה מימדים?
אז מסתבר שכולם קשורים להבדל בין המספר 2 למספר 3. רוצים לדעת עוד? קדימה – לעסק.

בואו נתחיל עם פיל. הפיל גדול וכבד, אוהב אמבטיות בוץ (מי לא?) ויש לו דם חם. לא, הוא לא מתעצבן כשנדחפים לו לחניה (למרות שלא הייתי מנסה), דם חם אומר שהוא (כמונו) יודע לייצר חום בתוך הגוף שלו כדי לשמור על טפ' גוף קבועה. זה בניגוד לזוחלים למשל, שטפ' הגוף שלהם נקבעת על פי הסביבה: כשיש שמש הם מתחרדנים, מתחממים, אוכלים ועושים חיים, (עד כמה שזוחלים מסוגלים) וכשקר הם נכנסים מתחת לאבן ומחכים שיתחמם.

היתרון בדם חם הוא שאפשר לפתח חילוף חומרים שמותאם בדיוק לטפ' הגוף ומאוד יעיל ואפשר לתחזק מוח גדול ומפונק שדורש תנאים קבועים. עם המוח אפשר להמציא שפה, טכנולוגיה וקפוצ'ינו על גדות נהר באיטליה. כשאין קורונה כמובן.

אז הפיל כל הזמן מייצר חום ואת זה הוא עושה בכל נפח הגוף שלו – בכל תא שעושה חילוף חומרים, בפעולה של השרירים ואפילו הדם שמתחכך תוך כדי זרימה. מצד שני, החום יכול לברוח מהגוף רק בחלק שנוגע באוויר, כלומר העור, כלומר שטח הפנים שלו.
אבל שטח של גופים גדל ביחס לחזקה השנייה של האורך/רוחב שלהם. ונפח של גופים גדל ביחס לחזקה השלישית ולכן ככל שהגוף גדול יותר כך היחס בין שטח הפנים לנפח קטן (פחות שטח ביחס לנפח) וככל שהגוף יותר קטן, כך היחס גדל.

אם נזכר בפיל נבין שיש לו הרבה נפח לייצר חום ומעט שטח פנים לאבד אותו. לפילים יש אזניים גדולות (עוד שטח פנים, מעט נפח) שעוזרות לו לווסת את חום הגוף אבל אי אפשר לתחזק חיה עם דם חם גדולה בהרבה מפיל – היא פשוט תמות מחום. אם רוצים למצוא חיות באמת גדולות עם דם חם צריך לחפש במקום שבו ניתן להיפתר ביעילות מעודפי החום, למשל, במים (כי מים מוליכים חום יותר טוב מאוויר). ושם נמצא את הלוויתן.

מצד שני, אם אתה ממש קטן אתה סובל מבעיה הפוכה – יותר מדי שטח פנים ומעט מדי נפח. הכירו בבקשה את החדף: היונק הקטן ביותר.

החדף כ"כ קטן ומאבד חום כל כך מהר שהוא בקושי מצליח לחמם את עצמו. הוא מסתובב בעולם ואוכל כל הזמן – פי שניים ממשקלו כל יום ע"מ לחמם את עצמו וזה מאוד לא יעיל! (יש יונקים יותר גרועים, למשל האסון האבולוציוני האהוב ביותר – הפנדה).
היחס בין שטח פנים לנפח קובע שעל היבשה, בגדול, לא נמצא יונק יותר קטן מחדף (באיזורים קרירים) או יותר גדול מפיל (באיזורים חמים). אפשר להיות מאוד גדול אם ממש קר בחוץ, למשל הקרנף הענק הזה. הדינוזאורים היו יותר גדולים וזה כנראה אומר שלא היה להם ייצור חום פנימי כמו ליונקים. למעשה, היום חושבים שעצם הגודל שלהם אפשר להם לשמור על חום גוף לאורך זמן, גם אם לא ייצרו אותו פנימית.

למכוניות שמנסות לבלום בירידה יש בעיה דומה.
בלמים של מכוניות הן דיסקה דו-ממדית שנצמדת לגלגל, לוחצת אותו ומתחממת. היכולת של הדיסקה לפזר את החום תלוי בשטח שלה. לעומת זאת כשמכונית בירידה, כוח המשיכה עליה תלוי במשקלה, כלומר בנפח שלה.

אם אוטו גדל פי 2 (פי 2 ארוך, פי 2 גבוה, פי 2 רחב) הנפח והמשקל יגדלו פי 8 (וכך גם הכוח שגורר אותו למטה במדרון) ושטחה של הדיסקה יגדל רק פי 4 בערך (וכך גם כמות החום שהיא מסוגלת לאבד). ולכן ככל שהאוטו גדל, יש פחות שטח דיסקה ביחס למשקל שצריך לבלום, נוצר יותר ויותר חום ומתישהו הבלם יישרף. בעיה.
לכן, מעל גודל מסוים כבר לא בטיחותי לבלום מכונית (כבר בעצם משאית) רק עם בלמי דיסק וצריך משהו אחר – בלם אגזוז או בלם מנוע. בלם האגזוז מונע מגזי הפלטה לצאת וכך מונע מהמנוע לדחוף עוד גזים החוצה ומאט את פעולתו. בלם מנוע מסב את המנוע למין מדחס אוויר וכך מאט אותו. מכיוון שהמנוע מחובר לגלגלים זה עוזר לעצור את המשאית ולפעמים משמיע קול מאוד מעצבן וחזק, קצת כמו לצחצח שיניים עם מקדחה על מצב פטישון.
אם זה מעניין אתכם, ואני ממש מקווה שזה לא, יש אתרים עם טיפים על איך לגרום לרכב לעשות יותר רעש.

ומה הקטע עם עננים? כלומר, איך זה שהם שטים בשמיים? הרי הענן עשוי מטיפות מים וכולנו יודעים שאם משפריצים מים מצינור הם נופלים לרצפה. אז למה עננים לא נופלים לרצפה? ולמה כשאנשים קופצים ממטוס הם כן נופלים לרצפה? ואיך זה שחתולים יכולים לשרוד נפילה כמעט מכל גובה?

גם כאן יש משחק של נפח מול שטח פנים. כשאתה זורק משהו ממטוס הנפילה שלו תלויה בשני דברים – כוח המשיכה והתנגדות האוויר לתנועה. כוח המשיכה תלוי בנפח הגוף והתנגדות האוויר תלויה בשטח הפנים וגם במהירות: ההתנגדות גדלה כששטח הפנים גדל וגדלה גם כשמהירות התנועה גדלה. לבן אדם שנופל, כוח המשיכה וחיכוך האוויר מתאזנים בערך במהירות של 200 קמ"ש. אדם לא מסוגל לשרוד התנגשות ב200 קמ"ש אלא אם זה ברשת מיוחדת או שלג ממש ממש עמוק או הר צמר גפן (זה כנראה אף פעם לא קרה, אבל איזה כייף זה היה יכול להיות!).
חתולים יודעים לשטח את הגוף שלהם בנפילה מה שמאט אותם למהירות סופית של בערך 100 קמ"ש. זו מהירות שתרסק אדם, אבל חתולים, אלופי הגמישות ואקרובטיקה מסוגלים לפעמים לשרוד אותה.
אגב, התנגדות אוויר שעולה עם המהירות זו הסיבה שמטוסי נוסעים הולכים ומאיטים עם הזמן – כדי לחסוך בדלק והוצאות.

ולגבי עננים – הם עשויים מטיפות מים, אבל טיפות ממש ממש קטנות, פי מאה יותר קטנות מטיפות גשם.

הן כ"כ קטנות שכוח המשיכה (שתלוי בנפח) זניח לעומת הכוחות מהתנגשות בחלקיקי אוויר (על פני השטח). לכן, כיוון שחלקיקי אוויר נעים במרחב כל הזמן (מה שנקרא תנועה בראונית, שתוארה ע"י רוברט בראון שהסתכל על גרגירי אבקה והוסברה ע"י איינשטיין כשהיה בן 26, מה אתם הספקתם לעשות עד גיל 26, לטייל בדרום אמריקה? לא כ"כ מרשים.) הם מתנגשים בטיפות והן למעשה לא "מרגישות" בכלל את כוח המשיכה ופשוט צפות בים האטמוספרי.

עוד משהו נחמד שקורה בין שני ממדים (שטח) לשלושה מימדים (נפח) הוא הילוך השיכור.
הילוך שיכור הוא מין משחק מתמטי שבו אנחנו שמים יצור (השיכור) בראשית הצירים ובכל שניה הוא יכול ללכת בצורה אקראית לכל כוון.
אפשר לחשוב על יצור על קו ישר שמתחיל ב 0 ובשנייה הראשונה יכול לקפוץ ל 1 או ל 1-. אם הוא קפץ ל 1 אז בשנייה השנייה הוא יכול ללכת ל-0 או ל 2. וכן הלאה. בשני ממדים זה קצת יותר מעניין, היצור שלנו מתחיל ב (0,0) ובשנייה הראשונה יכול לקפוץ ל (0,1), (1,0), (0, 1-) או (1-, 0).

• 

• 

מעניין לשאול – אם ניתן לשיכור ללכת ככה אין-סוף מהלכים, מה הסבירות שהוא יבקר חזרה בראשית שממנה יצא?
מסתבר שבשני ממדים הוא בוודאות יבקר חזרה בראשית וזה למרות שההילוך שלו לא חסום, כלומר אנחנו גם מצפים שהוא ירחיק ויגיע לכל נקודה שהיא אבל גם מתישהו יחזור הביתה לספר על זה לחברה.

אבל בשלושה ממדים זה כבר לא ככה. השיכור מסתובב במרחב ורק בסיכוי של בערך שליש יחזור לבקר בראשית. על זה אמרו שאיש שיכור כנראה ימצא בסוף את הדרך הביתה אבל ציפור שיכורה כנראה תאבד את הקן לנצח.

גם המשפט האחרון של פרמה מפתיע כי הוא צופה שינוי משמעותי בהתנהגות של מספרים בין חזקה שניה לשלישית. בחזקה שניה יש אין סוף דוגמאות לשלושה מספרים שלמים שמקיימים

למשל

וכל שלושה מספרים כאלו נקראים שלשה פיתגוראית כי הם גם מתארים שלוש צלעות של משולש ישר זווית (שמקיים את משפט פיתגורס).

פרמה טען שאין אפילו דוגמא אחת לשלושה מספרים שלמים חיוביים כאלו עבור

או לכל חזקה גדולה מ-2. וזה באמת די מפתיע – אין סוף דוגמאות עבור 2 ואפילו לא אחת עבור 3? אז מסתבר שזה אכן כך וההבדל הקטן בין חזקה שניה לשלישית שיגע מתמטיקאים במשך 350 שנה.

אז זהו – וכדאי לציין שגם עם ילדים המעבר בין שניים לשלושה הוא משמעותי, אבל עוד אין הוכחה מתמטית לכך, בנתיים זה בגדר אינטואיציה :).